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2025 年全国新课标I卷数学试题

注意事项:

1. 答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动,请用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案。作答非选择题, 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。
4. 本试卷共 4 页, 满分 150 分, 考试时间为 120 分钟。考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分. 每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1. (1+5i)i 的虚部为 A. -1 B. 0 C. 1 D. 6
2. 设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,集合 A={1,3,5} ,则 ∁_U A 中元素个数为 A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
3. 若双曲线 C 的虚轴长为实轴长的 7 倍,则 C 的离心率为 A. √2 B. 2 C. √7 D. 2√2
4. 若点 (a,0)(a>0) 是函数 y=2tan(x-π/3) 的图象的一个对称中心,则 a 的最小值为 A. 30^∘ B. 60° C. 90° D. 135^∘
5. 设 f(x) 是定义在 R 上且周期为 2 的偶函数,当 2≤x≤3 时, f(x)=5-2x ,则 f(-3/4)= A. -1/2 B. -1/4 C. 1/4 D. 1/2
6. 帆船运动员借助风力驾驶帆船,
7. 若圆 x^2+(y+2)^2=r^2 (r>0) 上到直线 y=√3 x+2 的距离为 1 的点有且仅有 2 哥,则 r 的取值范围是 A.(0,1) B.(1,3) C. (3,+∞) D. (0,+∞)
8. 若实数 x,y,z 满足 2+log_2 x=3+log_3 y=5+log_5 z ,则 x,y,z 的大小关系不可能是 A. x>y>z B. x>z>y C. y>x>z D. y>z>x ##二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。
9. 在正三棱柱 ABC-A1 B_1 C_1 中, D 为 BC 中点,则 A. AD⊥A_1 C B. B_1 C⊥ 平面 AA_1 D C. CC_1// 平面 AA! D D. AD//A_1 B_1
10. 设抛物线 C:y^2=6x 的焦点为 F ,过 F 的直线交 C 于 A"、" B ,过 F 且垂直于 AB 的直线交 l:y=-3/2 x 于 E ,则 A. |AD|=|AF| B. |AE|=|AB| C. |AB|≥6 D. |AE|⋅|BE|≥18
11. 已知 △ABC 的面积为 1/4 ,若 cos2A+cos2B+cos2C=2,cosAcosBsinC=1/4 ,则 A. sinC=sin^2 A+sin^2 B B. AB=√2 C. sinA+sinB=√6/2 D. AC^2+BC^2=3 ##三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.
12. 若直线 y=2x+5 是曲线 y=e^x+x+a 的切线,则 a= _.
13. 若一个等比数列的前 4 项和为 4 , 前 8 项和为 68 ,则该等比数列的公比为_.
14. 一个箱子里有 5 个球,分别以 1∼5 标号,若有放回取三次,记至少取出一次的球的个数 X ,则 E(X)= _. ##四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13 分)为研究某乘病与超声波检查结果的关系,从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人,得到如下列联表：

组别 超声波检查结果 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000

(1)记超声波检查结果不正常苷患、该疾病的概率为P,求P的创值； (2)根据小概率值 α=0.001 的独立性检验,分析超声波检查 结果是否与患该疾病有关. 附： χ^2=(n(ad-bc)^2)/(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,p(x=2,k)/k=0.821 6.635 10.828

16.(15 分)

设数列 {an } 满足 a(n+1)/n=a_n/(n+1)+1/n(n+1) . (1)证明: {na_n } 为等差数列； (2)设 f(x)=a_1 x+a_2 x^2+⋯+a_m x^m ,求 f^' (2) .

17.(15 分)

如图所示的四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥ 平面 ABCD , BC//AD,AB⊥AD .

(1)证明:平面 PAB⊥ 平面 PAD ； (2)若 PA=AB=√2,AD=√3+1,BC=2,P,B,C,D 在同一个球面上,设该球面的球心为 O . (i)证明: O 在平面 ABCD 上； (ii) 求直线 AC 与直线 PO 所成角的余弦值.

18.(17 分)

设椭圆 C:x^2/a^2 +y^2/b^2 =1(a>b>0) ,记 A 为椭圆下端点, B 为右端点, |AB|=√10 ,且椭圆 C 的离心率为 (2√2)/3 . (1)求椭圆的标准方程； (2) 设点 P(m,n) . ( i ) 若 P 不在 y 轴上,设 R 是射线 AP 上一点, |AR|⋅|AP|=3 ,用 m,n 表示点 R 的坐标; (ii) 设直线 OQ 的斜率为 k_1 ,直线 OP 的斜率为 k_2 ,若 k_1=3k_2,M 为椭圆上一点,求 |PM| 的最大值.

19.(17 分)

设函数 f(x)=5cosx-cos5x . (1)求 f(x) 在 [0,π/4] 的最大值； (2)给定 θ∈(0,π) , a 为给定实数,证明:存在 y∈[a-θ,a+θ] ,使得 cosy≤cosθ ； (3)若存在 φ ,使得对任意 x ,都有 5cosx-cos(5x+φ)≤b ,求 b 的最小值.